Question

1．如圖，直線l₁：y₁=-x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點P（m，3）為直線l₁上一點，另一直線l₂：y₂=$\frac{1}{2}$x+b過點P，與x軸交于點C．
（1）直接寫出m和b的值及點A、點C的坐標；
（2）若動點Q從點C開始以每秒1個單位的速度向x軸正方向移動．設點Q的運動時間為t秒．
①當點Q在運動過程中，請直接寫出△APQ的面積S與t的函數關系式；
②求出當t為多少時，△APQ的面積等于3；
③是否存在t的值，使△APQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點P坐標代入直線l₁解析式可求得m，可求得P點坐標，代入直線l₂可求得b，可求得直線l₂的解析式，在y₁=0可求得A點坐標，令y₂=0可求得相應x的值，可求得C點坐標；
（2）①分點Q在A、C之間和點Q在A的右邊兩種情況，分別用t可表示出AQ，則可表示出S；
②令S=3可求得t的值；
③可設出Q坐標為（x，0），用x可分別表示出PQ、AQ和AP的長，分PQ=AQ、PQ=AP和AQ=AP三種情況可得到關于的方程，可求得相應的x的值，則可求得Q點的坐標，則可求得CQ的長，可求得t的值．

解答 解：
（1）∵點P在直線l₁上，
∴3=-m+2，解得m=-1，
∴P（-1，3），
∵y₂=$\frac{1}{2}$x+b過點P，
∴3=$\frac{1}{2}$×（-1）+b，解得b=$\frac{7}{2}$，
∴直線y₂=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$，令y₂=0可得0=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$，解得x=-7，
∴點C坐標為（-7，0），
在y₁=-x+2中，令y₁=0可得-x+2=0，解得x=2，
∴A點坐標為（2，0）；
（2）①由題意可知CQ=t，P到x軸的距離為3，
∵A（2，0），C（-7，0），
∴AC=2-（-7）=9，
當Q在A、C之間時，則AQ=AC-CQ=9-t，
∴S=$\frac{1}{2}$×3×（9-t）=-$\frac{3}{2}$t+$\frac{27}{2}$；
當Q在A的右邊時，則AQ=CQ-AC=t-9，
∴S=$\frac{1}{2}$×3×（t-9）=$\frac{3}{2}$t-$\frac{27}{2}$；
②令S=3可得-$\frac{3}{2}$t+$\frac{27}{2}$=3或$\frac{3}{2}$t-$\frac{27}{2}$=3，解得t=6或t=11，
即當t的值為6秒或11秒時△APQ的面積等于3；
③設Q（x，0）（x≥-7），
∵A（2，0），P（-1，3），
∴PQ²=（x+1）²+3²=x²+2x+10，AQ²=（x-2）²=x²-4x+4，AP²=（2+1）²+3²=18，
∵△APQ為等腰三角形，
∴有PQ=AQ、PQ=AP和AQ=AP三種情況，
當PQ=AQ時，則PQ²=AQ²，即x²+2x+10=x²-4x+4，解得x=-1，則Q點坐標為（-1，0），
∴CQ=-1-（-7）=6，即t=6；
當PQ=AP時，則PQ²=AP²，即x²+2x+10=18，解得x=-4或x=2，則Q點坐標為（-4，0）或（2，0）（與A點重合，舍去），
∴CQ=-4-（-7）=3，即t=3；
當AQ=AP時，則AQ²=AP²，即x²-4x+4=18，解得x=2±3$\sqrt{2}$，則Q點坐標為（2+3$\sqrt{2}$，0）或（2-3$\sqrt{2}$，0），
∴CQ=2+3$\sqrt{2}$-（-7）=9+3$\sqrt{2}$或CQ=2-3$\sqrt{2}$-（-7）=9-3$\sqrt{2}$，即t=9+3$\sqrt{2}$或t=9-3$\sqrt{2}$；
綜上可知存在滿足條件的t，其值為6或3或t=9+3$\sqrt{2}$或t=9-3$\sqrt{2}$．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及函數與坐標軸的交點、函數圖象的交點問題、三角形的面積、等腰三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意函數圖象的交點坐標滿足每個函數解析式是解題的關鍵，在（2）中用t表示出AQ的長是解題的關鍵，在（3）中求得Q點的坐標是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．