Question

16．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果點P由點B出發沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接PQ，設運動時間為t（s）（0＜t＜4），設PQ的長為y，當t為何值時，y取得最小值？y的最小值是多少？

Answer 1

分析 過點P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC得$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，由此用t表示線段PH、QH，利用勾股定理求出線段PQ，然后用二次函數知識解決．

解答 解：作PH⊥AC垂足為H．
在RT△ABC中，∵AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5
∵∠PHA=∠C=90°，
∴PH∥BC，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{PH}{3}$=$\frac{AH}{4}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PH=$\frac{3}{5}$（5-t），AH=$\frac{4}{5}$（5-t），
∴QH=AH-AQ或AQ-AH
∴QH=|$\frac{4}{5}$（5-t）-t|=|4-$\frac{9}{5}$t|
∴y=$\sqrt{P{H}^{2}+Q{H}^{2}}$=$\sqrt{[\frac{3}{5}（5-t）]^{2}+（4-\frac{9}{5}t）^{2}}$=$\sqrt{\frac{18}{5}{t}^{2}-18t+25}$=$\sqrt{\frac{18}{5}（t-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{5}{2}}$，
∴t=$\frac{5}{2}$時，y_最小值=$\sqrt{\frac{5}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、以及二次函數的最值問題，把最值問題轉化為二次函數問題，是解決問題的關鍵．