Question

5．已知：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，BE⊥AC，垂足為點E，M為AB邊的中點，連結ME、MD、ED．設AB=4，∠DBE=30°，則△EDM的面積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由條件知△ABE，三角形ADB是直角三角形，且EM，DM分別是它們斜邊上的中線，證明∠EMD=2∠DAC=60°，從而可得三角形DME是邊長為2的等邊三角形可得到問題答案．

解答 解：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴△ABE，△ADB是直角三角形，
∴EM，DM分別是它們斜邊上的中線，
∴EM=DM=$\frac{1}{2}$AB，
∵ME=$\frac{1}{2}$AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理，MD=$\frac{1}{2}$AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC=60°，
所以△DEM是邊長為2的正三角形，所以S_△DEM=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了直角三角形的性質以及等邊三角形的判定和性質和等邊三角形的面積計算，題目綜合性很好．