Question

19．如圖，A（0，a），C（c，0），其中a，c滿足c=$\sqrt{a-2}$+$\sqrt{2-a}$+6．
（1）求AC的長；
（2）過A作AB⊥AC，且AB=AC．
①D為x軸負半軸上一點，∠ABD=90°，求D點坐標；
②連BC，若點P（m，2m）（不與點B重合），使S_△APC=S_△ABC，則P點坐標為（$\frac{26}{7}$，$\frac{52}{7}$）．（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）根據二次根式的意義得出a的值，進而求出c的值，即可求出點A，C坐標，利用兩點間的距離公式求出AC；
（2）①先判斷出△ABE≌△CAO得出BE=2，AE=6，即可求出點E的坐標，進而求出直線AB的解析式，利用BD⊥AB求出直線BD解析式即可求出點D的坐標；
②先判斷出AC∥BD，再利用S_△APC=S_△ABC，得出點P到直線AC的距離等于AB，即可判斷出點P在直線BD上或在直線BD關于直線AC的對稱的直線B'P上，即可求出點P的坐標．

解答 解：（1）∵a，c滿足c=$\sqrt{a-2}$+$\sqrt{2-a}$+6．
∴a-2≥0，2-a≥0，
∴a=2，
∴c=6，
∴A（0，2），C（6，0），
∴AC=2$\sqrt{10}$；
（2）①如圖1，過點B作BE⊥OA于E，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAE+∠CAO=90°，
∴∠ABE=∠CAO，
在△ABE和△CAO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠COA}\\{∠ABE=∠CAO}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAO，
∴BE=OA=2，AE=OC=6，
∵OA=2，
∴OE=4，
∴B（-2，-4），
∴直線AB的解析式為y=3x+2，
∵∠ABD=90°，且B（-2，-4），
∴直線BD的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{14}{3}$，
當y=0時，x=-14，
∴D（-14，0）；
②如圖2，∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴直線AC和BD間的距離是AB，
設點P到AC的距離為h，
∴S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•h，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB，而S_△APC=S_△ABC
∴$\frac{1}{2}$AC•h=$\frac{1}{2}$AC•AB，
∴h=AB，
Ⅰ、點P在直線AC下方時，點P在直線BD上，
∵P（m，2m），
由（2）知，直線BD的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{14}{3}$，
∴2m=-$\frac{1}{3}$m-$\frac{14}{3}$，
∴m=-2，
∴P（-2，-4）此時和點B重合，不符合題意，舍去；
Ⅱ、當點P在直線AC上方時，
∵BA⊥AC，A（0，2），B（-2，-4），
∴點B關于直線AC的對稱點B'的坐標為（2，8），
∴直線B'P的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{26}{3}$，
∵點P在直線B'P上，
∴2m=-$\frac{1}{3}$m+$\frac{26}{3}$，
∴m=$\frac{26}{7}$，
∴P（$\frac{26}{7}$，$\frac{52}{7}$）．
故答案為：（$\frac{26}{7}$，$\frac{52}{7}$）．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判斷和性質，待定系數法求直線解析式，平行線的判斷，解（1）關鍵利用二次根式的意義求出a的值，解（2）的關鍵是求出點B的坐標，解（3）的關鍵是利用S_△APC=S_△ABC，判斷出點P在直線BD上或直線B'P上．