Question

8．如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點分別為A，B，AC是⊙O的直徑，AC，PB的延長線交于點E，若tan∠BAE=$\frac{1}{2}$，求sin∠E的值．

Answer 1

分析 連接OB，由切線的性質(zhì)得出∠OAP=∠OBE=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO，得出AB⊥OP，證出∠BAE=∠APO，得出tan∠APO=$\frac{OA}{PA}$=tan∠BAE=$\frac{1}{2}$，設OA=1，則OB=OC=OA=1，PA=2，證明△OBE∽△PAE，得出的也不錯了$\frac{BE}{AE}=\frac{OB}{PA}$=$\frac{1}{2}$，得出BE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$（2+CE）=1+$\frac{1}{2}$CE①，由勾股定理得出BE²=OE²+OB²=（1+CE）²+1²②，由①②求出CE=$\frac{2}{3}$，得出OE=OC+CE=$\frac{5}{3}$，由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果．

解答 解：連接OB，如圖所示：
∵PA，PB是⊙O的切線，
∴∠OAP=∠OBE=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO，
∴AB⊥OP，
∴∠BAE+∠PAB=90°，∠APO+∠PAB=90°，
∴∠BAE=∠APO，
∴tan∠APO=$\frac{OA}{PA}$=tan∠BAE=$\frac{1}{2}$，
設OA=1，則OB=OC=OA=1，PA=2，
∵∠OAP=∠OBE=90°，∠E=∠E，
∴△OBE∽△PAE，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{OB}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$（2+CE）=1+$\frac{1}{2}$CE①，
又∵BE²=OE²+OB²=（1+CE）²+1²②，
由①②得：CE=$\frac{2}{3}$或CE=-2（舍去），
即CE=$\frac{2}{3}$，
∴OE=OC+CE=$\frac{5}{3}$，
∴sinE=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{1}{\frac{5}{3}}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識；求出CE是解決問題的關鍵．