Question

17．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，它們的交點P給在線段CD上，下面的結論：①AP⊥BP；②點P到直線AD、BC的距離相等；③PD=PC．其中正確的結論有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②
• C． 僅①
• D． 僅②

Answer 1

分析 作PE⊥AD交AD的延長線于E，PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，根據角平分線的定義和平行線的性質證明①正確；根據角平分線的性質證明②正確；運用全等三角形的判定定理和性質定理證明③正確．

解答 解：作PE⊥AD交AD的延長線于E，PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，
∴∠PAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠PBA=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴∠APB=90°，即AP⊥BP，①正確；
∵AP平分∠DAB，PE⊥AD，PG⊥AB，
∴PE=PG，
同理，PF=PG，
∴PE=PF，即點P到直線AD、BC的距離相等，②正確；
由題意得，△DPE≌△CPF，
∴PD=PC，③正確，
故選：A．

點評 本題考查的是角平分線的定義和性質以及平行線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．