Question

2．在平面直角坐標系中，點A（1，1），B（3，3），動點C在x軸上，若以A、B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，則點C的個數為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 首先根據線段的中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，求出AB的中垂線與x軸的交點，即可求出點C₁的坐標；然后再求出AB的長，以點A為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與x軸的交點為點C₂、C₃；最后判斷出以點B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與x軸沒有交點，據此判斷出點C的個數為多少即可．

解答 解：如圖，


∵AB所在的直線是y=x，
∴設AB的中垂線所在的直線是y=-x+b，
∵點A（1，1），B（3，3），
∴AB的中點坐標是（2，2），
把x=2，y=2代入y=-x+b，
解得b=4，
∴AB的中垂線所在的直線是y=-x+4，
∴C₁（4，0）
以點A為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與x軸的交點為點C₂、C₃；
AB=$\sqrt{（3-1）^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵2$\sqrt{2}$＜3，
∴以點B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與x軸沒有交點．
綜上，可得若以A、B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，則點C的個數為3．
故選：B．

點評 此題主要考查了等腰三角形的性質和應用，考查了分類討論思想的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①等腰三角形的兩腰相等．②等腰三角形的兩個底角相等．③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．