Question

5．如圖，一樓房AB后有一假山，其坡度為i=1：$\sqrt{3}$，山坡坡面上E點處有一休息亭，測得假山坡腳C與樓房水平距離BC=25m，與亭子距離CE=20m，小麗從樓房頂測得E點的俯角為45°．求：
（1）點E到AB的距離；
（2）樓房AB的高．

Answer 1

分析 （1）過點E作EG⊥AB于G，過點E作EF⊥BC交BC的延長線于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EF=BG，F(xiàn)B=EG，在Rt△ECF中，tan∠ECF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得∠ECF=30°，解直角三角形即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)小麗從樓房頂測得E點的俯角為45°，求得∠FAE=∠FEA=45°，于是得到AF=EF=20+10$\sqrt{3}$（m），根據(jù)得到結(jié)論．

解答 解：（1）過點E作EG⊥AB于G，
過點E作EF⊥BC交BC的延長線于F，
∵四邊形EFBG是矩形，
∴EF=BG，F(xiàn)B=EG，
∵在Rt△ECF中，tan∠ECF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ECF=30°，
∵CE=20 m，
∴EF=10m，CF=10$\sqrt{3}$m，
∵BC=25m，
∴BF=BC+CF=25+10$\sqrt{3}$（m），
∴EG=25+10$\sqrt{3}$ （m）
∴點E到AB的距離是（25+10$\sqrt{3}$ ）m；

（2）∵小麗從樓房頂測得E點的俯角為45°，
∴∠FAE=∠FEA=45°
∴AF=EF=20+10$\sqrt{3}$（m），
∵FB=EG=10 m，
∴AB=AF+FB=20+10$\sqrt{3}$+10=30+10$\sqrt{3}$（m）
∴樓房AB的高是（30+10$\sqrt{3}$）m．

點評 本題考查了解直角三角形的應用--仰角俯角問題、坡度坡角問題，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形．