Question

11．O為直線AD上一點，以O為頂點作∠COE=90°，射線OF平分∠AOE．

（1）如圖①，∠AOC與∠DOE的數量關系為互余，∠COF和∠DOE的數量關系為∠COF=$\frac{1}{2}$∠DOE_；
（2）若將∠COE繞點O旋轉至圖②的位置，OF依然平分∠AOE，請寫出∠COF和∠DOE之間的數量關系，并說明理由；
（3）若將∠COE繞點O旋轉至圖③的位置，射線OF依然平分∠AOE，請直接寫出∠COF和∠DOE之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件和圖形可知：∠COE=90°，∠COE+∠AOC+∠DOE=180°，從而可以得到∠AOC與∠DOE的數量關系；由射線OF平分∠AOE，∠AOC與∠DOE的數量關系，從而可以得到∠COF和∠DOE的數量關系；
（2）由圖②，可以得到各個角之間的關系，從而可以得到∠COF和∠DOE之間的數量關系；
（3）由圖③和已知條件可以建立各個角之間的關系，從而可以得到∠COF和∠DOE之間的數量關系．

解答 解：（1）∵∠COE=90°，∠COE+∠AOC+∠DOE=180°，
∴∠AOC+∠DOE=90°，
∵射線OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOE-（90°-∠DOE）=$\frac{1}{2}$（180°-∠DOE）-90°+∠DOE=$\frac{1}{2}$∠DOE，
故答案為：互余，∠COF=$\frac{1}{2}$∠DOE；
（2）∠COF=$\frac{1}{2}$∠DOE；理由如下：
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∵∠COE=90°，
∴∠AOC=90°-∠AOE，
∴∠COF=∠AOC+∠AOF=90°-∠AOE+$\frac{1}{2}$∠AOE=90°-$\frac{1}{2}$∠AOE，
∵∠AOE=180°-∠DOE，
∴∠COF=90°-$\frac{1}{2}$（180°-∠DOE）=$\frac{1}{2}$∠DOE，
即∠COF=$\frac{1}{2}$∠DOE；
（3）∠COF=180°-$\frac{1}{2}$∠DOE；理由如下：
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOE，
∴∠COF=∠COE+∠EOF=90°+$\frac{1}{2}$∠AOE=90°+$\frac{1}{2}$（180°-∠DOE）=180°-$\frac{1}{2}$∠DOE，
即∠COF=180°-$\frac{1}{2}$∠DOE．

點評 本題考查了角平分線的定義以及角的計算，解題的關鍵是找出各個角之間的關系，利用數形結合的思想找出所求問題需要的條件．