Question

9．如圖，直線y=$\frac{2}{3}$x+4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C，D分別為線段AB，OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為（　　）

• A． 2+$\sqrt{13}$
• B． 5
• C． 2$\sqrt{13}$
• D． 6

Answer 1

分析 作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD值最小，根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)找出點(diǎn)D′的坐標(biāo)，利用勾股定理即可求出PC+PD的最小值．

解答 解：作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD值最小，如圖．
令y=$\frac{2}{3}$x+4中x=0，則y=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；
令y=$\frac{2}{3}$x+4中y=0，則$\frac{2}{3}$x+4=0，解得：x=-6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0）．
∵點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C（-3，2），點(diǎn)D（0，2）．
∵點(diǎn)D′和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（0，-2），
∴PC+PD的最小值=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及軸對(duì)稱中最短路徑問題，本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出D'點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．