Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，過點A的兩條直線分別交y軸于B（0，3）、C（0，-1）兩點，且∠ABC=30°，AC⊥AB于A．
（1）求線段AO的長，及直線AC的解析式；
（2）若點D在直線AC上，且DB=DC，求點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，直線BD上是否存在點P，使以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△AOB中，利用三角函數的定義可求得AO的長，則可求得A點坐標，再利用待定系數法可求得直線AC的解析式；
（2）由DB=D可知點D的在線段BC的垂直平分線上，可求得D點的縱坐標，再由直線AC的解析式可求得D點坐標；
（3）由B、D的坐標可求得直線BD的解析式，則可設出P點坐標，從而可表示出BP、AP和AB的長，分BP=AP、BP=AB和AP=AB三種情況分別得到關于P點坐標的方程，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵B（0，3），
∴OB=3，
∵∠ABC=30°，
∴$\frac{AO}{BO}$=tan30°，即$\frac{AO}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AO=$\sqrt{3}$，
∴A（-$\sqrt{3}$，0），且C（0，-1），
∴可設直線AC解析式為y=kx-1，
把A點坐標代入可得0=-$\sqrt{3}$k-1，解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線AC解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1；
（2）∵DB=DC，
∴點D在線段BC的垂直平分線上，
∵B（0，3），C（0，-1），
∴線段BC的中點為（0，1），
∴D點縱坐標為1，
∵點D在直線AC上，
∴1=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，解得x=-2$\sqrt{3}$，
∴D點坐標為（-2$\sqrt{3}$，1）；
（3）∵B（0，3），D（-2$\sqrt{3}$，1），
∴可設直線BD解析式為y=mx+3，
∴1=-2$\sqrt{3}$m+3，解得m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線BD解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴可設P點坐標為（t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+3），
∵A（-$\sqrt{3}$，0），B（0，3），
∴BP=$\sqrt{{t}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}t+3-3）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|t|，AP=$\sqrt{（t+\sqrt{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}t+3）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}{t}^{2}+\sqrt{3}t+3}$，AB=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
當以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形時，有BP=AP、BP=AB和AP=AB三種情況，
①當BP=AP時，則有$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|t|=2$\sqrt{\frac{1}{3}{t}^{2}+\sqrt{3}t+3}$，解得t=-$\sqrt{3}$，此時P點坐標為（-$\sqrt{3}$，2）；
②當BP=AB時，則有$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|t|=2$\sqrt{3}$，解得t=3或t=-3，此時P點坐標為（3，$\sqrt{3}$+3）或（-3，3-$\sqrt{3}$）；
③當AP=AB時，則有2$\sqrt{\frac{1}{3}{t}^{2}+\sqrt{3}t+3}$=2$\sqrt{3}$，解得t=0（此時與B點重合，舍去）或t=-3$\sqrt{3}$，此時P點坐標為（-3$\sqrt{3}$，0）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（-$\sqrt{3}$，2）或（3，$\sqrt{3}$+3）或（-3，3-$\sqrt{3}$）或（-3$\sqrt{3}$，0）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及待定系數法、三角函數的定義、等腰三角形的性質、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中利用三角函數求AO的長是解題的關鍵，在（2）中確定出D點的位置是解題的關鍵，在（3）中用P點的坐標分別表示出PA、PB及AB的長是解題的關鍵，注意分三種情況．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．