Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E．
（1）求證：DE=$\frac{1}{2}$BC；
（2）已知DE=2，AD=1.8，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質及圓周角定理證明，分別得出ED=BE，EB=EC進而得出答案；
（2）首先利用相似三角形的判定與性質得出BD的長，進而利用勾股定理得出AC的長．

解答 （1）證明：如圖，連接OD．
∵DE為切線，
∴∠EDC+∠ODC=90°；
∵∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠OCD=90°．
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDC=∠ECD，
∴ED=EC；
∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴ED=BE．
∴EB=EC，
即DE=$\frac{1}{2}$BC；

（2）解：∵AC為直徑，
∴∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°，
又∵∠B=∠B
∴△ABC∽△CDB，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴BC²=BD•BA，
∵DE=2，AD=1.8，
∴BC=4，
∴4²=BD•（BD+1.8），
解得：BD=3.2或-5（負數不合題意舍去），
則AB=3.2+1.8=5，
故AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．

點評 此題主要考查了切線的性質以及相似三角形的判定與性質，正確得出BD的長是解題關鍵．