Question

19．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，長方形OACB的頂點(diǎn)A、B分別在x軸與y軸上，已知OA=5，OB=3，點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿線段BC-CA的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，求直線DP的函數(shù)解析式；
（2）求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出對應(yīng)t的取值范圍；
（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某些位置使△ADP為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由長方形的性質(zhì)可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線DP的解析式；
（2）可分點(diǎn)P在線段BC上和在線段AC上兩種情況，利用三角形的面積可求得S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，可用t表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可分別表示出DP、AP和AD的長，分DP=AP、DP=AD和AP=AD三種情況分別得到關(guān)于t的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，則只能有PD=AD，則點(diǎn)D在線段AP的垂直平分線上，可求得線段AP中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵OA=5，OB=3，且四邊形OACB為長方形，
∴C（5，3），
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3），
∵D（0，1），
∴可設(shè)直線DP解析式為y=kx+1，
∴3=5k+1，解得k=$\frac{2}{5}$，
∴直線DP解析式為y=$\frac{2}{5}$x+1；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，即0≤t≤5時(shí)，如圖1，

則BP=t，且OD=1，
∴S=$\frac{1}{2}$•OD•BP=$\frac{1}{2}$×1×t=$\frac{1}{2}$t，
當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，即5＜t≤8時(shí)，則S=$\frac{1}{2}$OD•BC=$\frac{1}{2}$×1×5=$\frac{5}{2}$，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}t（0≤t≤5）}\\{\frac{5}{2}（5＜t≤8）}\end{array}\right.$；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，如圖2，

則可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，3）（0≤t≤5），
∵A（5，0），D（0，1），
∴DP=$\sqrt{{t}^{2}+（3-1）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+4}$，AP=$\sqrt{（t-5）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-10t+34}$，AD=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
當(dāng)△APD為等腰三角形時(shí)，則有DP=AP、DP=AD和AP=AD三種情況，
①當(dāng)DP=AP時(shí)，則有$\sqrt{{t}^{2}+4}$=$\sqrt{{t}^{2}-10t+34}$，解得t=3，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）；
②當(dāng)DP=AD時(shí)，則有$\sqrt{{t}^{2}+4}$=$\sqrt{26}$，解得t=-$\sqrt{22}$（舍去）或t=$\sqrt{22}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{22}$，3）；
③當(dāng)AP=AD時(shí)，則有$\sqrt{{t}^{2}-10t+34}$=$\sqrt{26}$，解得t=5+$\sqrt{17}$（舍去）或t=5-$\sqrt{17}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（5-$\sqrt{17}$，3）；
當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，則AP＜AD，只有AD=DP，
∴D在線段AC的垂直平分線上，
∴線段AP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（5，1），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2）；
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（3，3）或（$\sqrt{22}$，3）或（5-$\sqrt{17}$，3）或（5，1）．

點(diǎn)評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中確定出P點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中分點(diǎn)P在線段BC和AC上兩種情況是解題的關(guān)鍵，在（3）中用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出AP、DP的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．