Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2，E為BC的中點，以O(shè)E為直徑的⊙O′交x軸于D點，過點D作DF⊥AE于點F．
（1）求OA、OC的長；
（2）你能在直線BC上找到點P使△AOP是等腰三角形，請直接寫出點P坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用邊OA比OC大2且面積為15，可列方程求得OA、OC；
（2）分別以點A、點O為圓心，OA為半徑畫圓，與BC的交點即為滿足條件的P點，結(jié)合勾股定理可求得這些點的坐標(biāo)．

解答 （1）解：在矩形OABC中，設(shè)OC=x，則OA=x+2，
∴x（x+2）=15，
∴x₁=3，x₂=-5，
∴x₂=-5（不合題意，舍去），
∴OC=3，OA=5；
（2）解：存在．
①當(dāng)AO=AP時，如圖，以點A為圓心，以AO為半徑畫弧交BC于P₁和P₄兩點
過P₁點作P₁H⊥OA于點H，P₁H=OC=3；

∵AP_l=OA=5，
∴AH=4，
∴OH=l，
求得點P₁（1，3）同理可得：P₄（9，3）；
②當(dāng)OA=OP時，同上可求得P₂（4，3），P₃（-4，3），
∴在直線BC上，除了E點外，既存在⊙O′內(nèi)的點P，又存在⊙O′外的點P使△AOP為等腰三角形，
其坐標(biāo)為（1，3）或（9，3）或（4，3）或（-4，3）．

點評 本題主要考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用．在（1）中注意方程思想的應(yīng)用；在（2）中注意利用圓上的點到圓心的距離相等的特點找出滿足條件的點的位置．本題綜合性較強，待查知識點較多，在平時的學(xué)習(xí)中要注意知識的靈活運用．