Question

1．在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，E是OC上任意一點，AG⊥BE于點G，交BD于點F．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，判斷AF與BE的數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，求$\frac{AF}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的性質和全等三角形的性質即可得到結論；
（2）根據四邊形ABCD是菱形和∠ABC=120°，推出AC⊥BD，∠ABO=60°，所以∠FAO+∠AFO=90°，根據AG⊥BE，得到∠EAG+∠BEA=90°，∠AFO=∠BEA，又因為∠AOF=∠BOE=90°，推出三角形相似，即可得到結論．

解答 解：（1）AF=BE，
理由如下：
∵ABCD是正方形，
∴AO=BO，AO⊥BO，
又∵AG⊥BE，
∴∠FBG+∠BFG=∠FAO+∠AFO=90°，
∠BFG=∠AFO，
∴∠FBG=∠FAO，
在Rt△AOF和Rt△BOE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠BOE=90°}\\{∠FBG=∠FAO}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOF≌Rt△BOE（AAS），
∴AF=BE；


（2）結論：$\frac{AF}{BE}$=$\sqrt{3}$，
理由：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AC⊥BD，∠ABO=60°，
∴∠FAO+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA=90°，
∴∠AFO=∠BEA，
又∵∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AO}{OB}$，
∵∠ABO=60°，AC⊥BD，
∴$\frac{AO}{OB}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的性質，相似三角形的判定和性質，熟記定理是解題的關鍵．