Question

19．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4cm，CD是中線，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，以相同的速度分別沿DC、DB方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，直線AE分別與CF、BC相交于G、H，則在點(diǎn) E、F移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G移動(dòng)路線的長(zhǎng)度為（　　）

• A． 2
• B． π
• C． 2
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$π

Answer 1

分析 由△ADE≌△CDF，推出∠DAE=∠DCF，因?yàn)椤螦ED=∠CEG，推出∠ADE=∠CGE=90°，推出A、C、G、D四點(diǎn)共圓，推出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧CD，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答 解：如圖，

∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE=∠CDF=90°，CD=AD=DB，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE=∠DCF，
∵∠AED=∠CEG，
∴∠ADE=∠CGE=90°，
∴A、C、G、D四點(diǎn)共圓，
∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧CD，
∵AB=4，AB=$\sqrt{2}$AC，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∴OA=OC=$\sqrt{2}$，
∵DA=DC，OA=OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC=90°，
∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)為$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、軌跡、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確探究點(diǎn)G的軌跡，屬于中考常考題型．