Question

9．如圖：等腰三角形ABC中，∠ABC=20°，將△ABC沿BC向下翻折得到△A′BC．已知D為線段BC上一點．連接AD，并延長AD交A′B于點F，若∠BAD=∠ABC，BF=3，CD=5，那么△ACD的面積為$\frac{15}{4}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先過點C作CE⊥AD的延長線于點E，構造Rt△ACE，根據三角形外角性質求得∠CAE=60°，再設AC=x，BD=AD=y，根據△ACD∽△FBD，得出$\frac{BF}{BD}$=$\frac{AC}{DC}$，即$\frac{3}{y}$=$\frac{x}{5}$，求得xy=15，最后根據S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AD×CE=$\frac{1}{2}$×AD×ACsin60°進行計算即可．

解答 解：如圖所示，過點C作CE⊥AD的延長線于點E，則∠E=90°，
∵∠BAD=∠ABC=20°，AB=AC，
∴∠ACB=20°，∠ADC=40°，BD=AD，
∴∠CAE=60°，
設AC=x，BD=AD=y，
∵∠FBD=∠ABD=∠ACD=20°，
∴BF∥AC，
∴△ACD∽△FBD，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{AC}{DC}$，即$\frac{3}{y}$=$\frac{x}{5}$，
∴xy=15，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AD×CE=$\frac{1}{2}$×AD×ACsin60°=$\frac{1}{2}$xy×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$×15×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15}{4}\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{15}{4}\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質、三角形外角性質以及解直角三角形的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造含30°角的直角三角形，解題時注意運用相似三角形的對應邊成比例，列出比例式進行求解．