Question

19．（1）如圖1，∠B=∠D=90°，E是BD的中點，AE平分∠BAC，求證：CE平分∠ACD．
（2）如圖2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分線并于點E，過點E作BD⊥AM，分別交AM、CN于B、D，請猜想AB、CD、AC三者之間的數量關系，請直接寫出結論，不要求證明．
（3）如圖3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分線交于點E，過點E作不垂直于AM的線段BD，分別交AM、CN于B、D點，且B、D兩點都在AC的同側，（2）中的結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點E作EF⊥AC于F，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OB=OE，從而求出OE=OD，然后根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明；
（2）如圖2，過E作EF⊥AC于F，根據平行線的性質得到BD⊥CD，由角平分線的性質得到BE=EF，證得Rt△AEF≌Rt△ABE，根據全等三角形到現在得到AF=AB，同理CF=CD，等量代換得到結論；
（3）成立，如圖3，在AC上截取AF=AB，根據角平分線的定義得到∠BAE=∠FAE，推出△ABE≌△AFE，根據全等三角形的性質得到∠AFE=∠ABE，根據角平行線的性質得到∠ABE+∠CDE=180°，求得∠CFE=∠CDE，證得△CEF≌△CDE，根據全等三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）如圖1，過E作EF⊥AC于F，
∵∠B=90°，AE平分∠BAC，
∴EF=BE，
∵E是BD的中點，
∴BE=DE，
∴EF=DE，
∵∠D=90°，
∴CE平分∠ACD；

（2）如圖2，過E作EF⊥AC于F，
∵AM∥CN，BD⊥AM，
∴BD⊥CD，
∵AE平分∠BAC，
∴BE=EF，
在Rt△AEF與Rt△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=EF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEF≌Rt△ABE，
∴AF=AB，
同理CF=CD，
∵AC=AF+CF，
∴AC=AB+CD；

（3）成立，如圖3，在AC上截取AF=AB，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
在△ABE與△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠AFE=∠ABE，
∵AM∥CN，
∴∠ABE+∠CDE=180°，
∵∠AFE+∠EFC=180°，
∴∠CFE=∠CDE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠FCE=∠DCE，
在△CEF與△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CFE=∠CDE}\\{∠FCE=∠DCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CDE，
∴CF=CD，
∵AC=AF+CF，
∴AC=AB+CD．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，角平分線的定義，平行線的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．