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1.如圖,直線l1:y=2x+3與y軸交于點B,直線l2交y軸于點A(0,-1),且直線l1與直線l2交于點P(-1,t).
(1)求直線l2的函數(shù)表達式;
(2)過動點D(a,0)作x軸的垂線與直線l1,l2分別交于M,N兩點,且MN≤2.
①求a的取值范圍;
②若S△APM=$\frac{1}{2}{S_{△AMB}}$,求MN的長度.

分析 (1)可先求得P點坐標(biāo),再由A、P兩點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得直線l2的函數(shù)表達式;
(2)①用a可分別表示出M、N的坐標(biāo),則可表示出MN的長,由條件可得到關(guān)于a的不等式,則可求得a的取值范圍;②可先求得△APB的面積,由條件可知點M應(yīng)在y軸左側(cè),當(dāng)點M在線段PB上時,則可知S△ABM=$\frac{2}{3}$S△APB,則可求得M點到y(tǒng)軸的距離;當(dāng)點M在線段BP的延長線上時則可知S△APM=S△APB,可求得M到y(tǒng)軸的距離;再利用①中MN的長可求得答案.

解答 解:(1)∵點P(-1,t)在直線直線l1上,
∴t=2×(-1)+3=1,即P(-1,1),
設(shè)直線l2解析式為y=kx+b,
把A、P的坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-1}\end{array}\right.$,
∴直線l2的函數(shù)表達式為y=-2x-1;
(2)①∵MN∥y軸,
∴M、N的橫坐標(biāo)為a,
設(shè)M、N的縱坐標(biāo)分別為ym和yn
∴ym=2a+3,yn=-2a-1,
當(dāng)MN在點P左側(cè)時,此時a<-1,
則有MN=yn-ym=-2a-1-(2a+3)=-4a-4,
∵MN≤2,
∴-4a-4≤2,解得a≥-$\frac{3}{2}$,
∴此時-$\frac{3}{2}$≤a<-1;
當(dāng)MN在點P的右側(cè)時,此時a>-1,
則有MN=ym-yn=2a+3-(-2a-1)=4a+4,
∵MN≤2,
∴4a+4≤2,解得a≤-$\frac{1}{2}$,
∴此時-1<a<-$\frac{1}{2}$;
當(dāng)a=-1時,也符合題意,
綜上可知當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤a<-$\frac{1}{2}$時,MN≤2;
②由題意可知B(0,3),且A(0,-1),
∴AB=4,
∵P(-1,1),
∴S△APB=$\frac{1}{2}$×4×1=2,
由題意可知點M只能在y軸的右側(cè),
當(dāng)點M在線段AP上時,過點M作MC⊥y軸于點C,如圖1

∵S△APM=$\frac{1}{2}{S_{△AMB}}$,
∴S△ABM=$\frac{2}{3}$S△APB=$\frac{4}{3}$,
∴$\frac{1}{2}$AB•MC=$\frac{4}{3}$,即2MC=$\frac{4}{3}$,解得MC=$\frac{2}{3}$,
∴點M的橫坐標(biāo)為-$\frac{2}{3}$,即a=-$\frac{2}{3}$,
∴MN=4a+4=-$\frac{8}{3}$+4=$\frac{4}{3}$;
當(dāng)點M在線段BP的延長線上時,過點M作MD⊥y軸于點D,如圖2,

∵S△APM=$\frac{1}{2}{S_{△AMB}}$,
∴S△ABM=2S△APB=4,
∴$\frac{1}{2}$AB•MC=4,即2MC=4,解得MC=2,
∴點M的橫坐標(biāo)為-2,
∴MN=-4a-4=8-4=4,
當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤a<-$\frac{1}{2}$時,MN≤2;
綜上可知MN的長度為$\frac{4}{3}$.

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、三角形的面積、分類討論思想等知識.在(1)中求得P點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵,注意函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)滿足每個函數(shù)的解析式,在(2)①中用a表示出MN的長是解題的關(guān)鍵,在(2)②中求得M的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵,注意分兩種情況.本題考查知識點較多,綜合性較強,難度適中.

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