Question

1．如圖，直線l₁：y=2x+3與y軸交于點B，直線l₂交y軸于點A（0，-1），且直線l₁與直線l₂交于點P（-1，t）．
（1）求直線l₂的函數(shù)表達式；
（2）過動點D（a，0）作x軸的垂線與直線l₁，l₂分別交于M，N兩點，且MN≤2．
①求a的取值范圍；
②若S_△APM=$\frac{1}{2}{S_{△AMB}}$，求MN的長度．

Answer 1

分析 （1）可先求得P點坐標(biāo)，再由A、P兩點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線l₂的函數(shù)表達式；
（2）①用a可分別表示出M、N的坐標(biāo)，則可表示出MN的長，由條件可得到關(guān)于a的不等式，則可求得a的取值范圍；②可先求得△APB的面積，由條件可知點M應(yīng)在y軸左側(cè)，當(dāng)點M在線段PB上時，則可知S_△ABM=$\frac{2}{3}$S_△APB，則可求得M點到y(tǒng)軸的距離；當(dāng)點M在線段BP的延長線上時則可知S_△APM=S_△APB，可求得M到y(tǒng)軸的距離；再利用①中MN的長可求得答案．

解答 解：（1）∵點P（-1，t）在直線直線l₁上，
∴t=2×（-1）+3=1，即P（-1，1），
設(shè)直線l₂解析式為y=kx+b，
把A、P的坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的函數(shù)表達式為y=-2x-1；
（2）①∵MN∥y軸，
∴M、N的橫坐標(biāo)為a，
設(shè)M、N的縱坐標(biāo)分別為y_m和y_n，
∴y_m=2a+3，y_n=-2a-1，
當(dāng)MN在點P左側(cè)時，此時a＜-1，
則有MN=y_n-y_m=-2a-1-（2a+3）=-4a-4，
∵MN≤2，
∴-4a-4≤2，解得a≥-$\frac{3}{2}$，
∴此時-$\frac{3}{2}$≤a＜-1；
當(dāng)MN在點P的右側(cè)時，此時a＞-1，
則有MN=y_m-y_n=2a+3-（-2a-1）=4a+4，
∵MN≤2，
∴4a+4≤2，解得a≤-$\frac{1}{2}$，
∴此時-1＜a＜-$\frac{1}{2}$；
當(dāng)a=-1時，也符合題意，
綜上可知當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤a＜-$\frac{1}{2}$時，MN≤2；
②由題意可知B（0，3），且A（0，-1），
∴AB=4，
∵P（-1，1），
∴S_△APB=$\frac{1}{2}$×4×1=2，
由題意可知點M只能在y軸的右側(cè)，
當(dāng)點M在線段AP上時，過點M作MC⊥y軸于點C，如圖1

∵S_△APM=$\frac{1}{2}{S_{△AMB}}$，
∴S_△ABM=$\frac{2}{3}$S_△APB=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$AB•MC=$\frac{4}{3}$，即2MC=$\frac{4}{3}$，解得MC=$\frac{2}{3}$，
∴點M的橫坐標(biāo)為-$\frac{2}{3}$，即a=-$\frac{2}{3}$，
∴MN=4a+4=-$\frac{8}{3}$+4=$\frac{4}{3}$；
當(dāng)點M在線段BP的延長線上時，過點M作MD⊥y軸于點D，如圖2，

∵S_△APM=$\frac{1}{2}{S_{△AMB}}$，
∴S_△ABM=2S_△APB=4，
∴$\frac{1}{2}$AB•MC=4，即2MC=4，解得MC=2，
∴點M的橫坐標(biāo)為-2，
∴MN=-4a-4=8-4=4，
當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤a＜-$\frac{1}{2}$時，MN≤2；
綜上可知MN的長度為$\frac{4}{3}$．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、三角形的面積、分類討論思想等知識．在（1）中求得P點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)滿足每個函數(shù)的解析式，在（2）①中用a表示出MN的長是解題的關(guān)鍵，在（2）②中求得M的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．