Question

5．利用圖形面積可以證明乘法公式，也可以解釋代數中恒等式的正確性．
（1）首先請同學們觀察用硬紙片拼成的圖形（如圖1），根據圖形的面積，寫出它能說明的乘法公式（a+b）²=a²+2ab+b²；
（2）請同學們觀察用硬紙片拼成的圖形（如圖2），根據圖形的面積關系，寫出一個代數恒等式．

Answer 1

分析 （1）圖中可以得出，大正方形的邊長為a+b，大正方形的面積就為（a+b）²，2個矩形的邊長相同，且長為a，寬為b，則2個矩形的面積為2ab，空白的是兩個正方形，較大的正方形的邊長為a，面積等于a²，小的正方形邊長為b，面積等于b²，大正方形面積減去2個陰影矩形的面積就等于空白部分的面積．
（2）圖中可以得出，大正方形的邊長為a+b，大正方形的面積就為（a+b）²，4個矩形的邊長相同，且長為a，寬為b，則4個矩形的面積為4ab，中間空心的正方形的邊長為a-b，面積等于（a-b）²，大正方形面積減去4個陰影矩形的面積就等于中間空白部分的面積．

解答 解：（1）∵陰影部分都是全等的矩形，且長為a，寬為b，
∴2個矩形的面積為2ab，
∵大正方形的邊長為a+b，
∴大正方形面積為（a+b）²，
∴空白正方形的面積為a²和b²，
∴（a+b）²=a²+2ab+b²．
故答案為（a+b）²=a²+2ab+b²．
（2）∵四周陰影部分都是全等的矩形，且長為a，寬為b，
∴四個矩形的面積為4ab，
∵大正方形的邊長為a+b，
∴大正方形面積為（a+b）²，
∴中間小正方形的面積為（a+b）²-4ab，
∵中間小正方形的面積也可表示為：（a-b）²，
∴（a-b）²=（a+b）²-4ab．

點評 本題考查了完全平方公式的幾何意義，用不同的方法表示相應的面積是解題的關鍵．