Question

5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABOD的邊OD，BO在坐標軸上，正方形邊長為4，直線y=2x+2與y軸交于點E，與x軸交于點F．
（1）求直線AE的函數關系式和點F的坐標；
（2）在直線AD上是否存在點P使得△AFP為等腰三角形？若存在，直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質可求得A點坐標，在直線y=2x+2中可求得E點和F點坐標，利用待定系數法可求得直線AE解析式；
（2）可設出點P的坐標為（-4，y），則可表示出AP、FP，且可求得AF，當△AFP為等腰三角形時，則有AP=FP、AP=AF和FP=AF三種情況，可得得到關于y的方程，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）在y=2x+2中，令y=0可得2x+2=0，解得x=-1，令x=0可得y=2，
∴F（-1，0），E（0，2），
∵四邊形ABOD為正方形，且邊長為4，
∴AD=AB=4，
∴A（-4，4），
設直線AE解析式為y=kx+b（k≠0），則有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AE解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）存在．
理由如下：
∵四邊形ABOD為正方形，
∴AD⊥x軸，
∴直線AD解析式為x=-4，
∴設P（-4，y），
∵A（-4，4），F（-1，0），
∴AP=|y-4|，PF=$\sqrt{（-4+1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{y}^{2}+9}$，AF=$\sqrt{（-4+1）^{2}+{4}^{2}}$=5，
當△AFP為等腰三角形時，有AP=FP、AP=AF和FP=AF三種情況，
①當AP=FP時，即|y-4|=$\sqrt{{y}^{2}+9}$，解得y=$\frac{7}{8}$，此時P點坐標為（-4，$\frac{7}{8}$）；
②當AP=AF時，即|y-4|=5，解得y=9或y=-1，此時P點坐標為（-4，9）或（-4，-1）；
③當FP=AF時，即$\sqrt{{y}^{2}+9}$=5，解得y=4或-4，當y=4時，P與A點重合，舍去，
∴P點坐標為（-4，-4）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（-4，$\frac{7}{8}$）或（-4，9）或（-4，-1）或（-4，-4）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及正方形的性質、勾股定理、待定系數法、等腰三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中求得E點坐標是解題的關鍵，注意待定系數法的應用步驟，在（2）中利用方程思想，設出P點坐標，分別表示出AP、FP的長度是解題的關鍵，注意分類討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．