Question

20．已知：如圖1，二次函數y=ax²-2ax+c（a＞0）的圖象與y軸交于點C（0，-4），與x軸交于點A、B兩點，點A的坐標為（4，0）．
（1）求該拋物線的函數解析式；
（2）點P（t，0）是線段OB上一動點（不與O、B重合），點E是線段BC上的點，以點B、P、E為頂點的三角形與三角形ABC相似，連結CP，求△CPE的面積S與t的函數關系式；
（3）如圖2，若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點Q，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0），則存在這樣的直線，使得△ODF為等腰三角形，請直接寫出點Q坐標．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）可先設P的坐標為（m，0）；根據相似三角形的性質，可得S_△BEP，根據S_△CPE=S_△BOC-S_△BPE-S_OPC，可得函數關系式；
（3）本題要分三種情況進行求解：①當OD=OF時，根據等腰直角三角形，可得出F的坐標應該是（2，2），根據F的縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出Q的坐標；②當OF=DF時，根據線段垂直平分線的性質，可得OM=1，根據等腰直角三角形的性質，可得FM=AM=3，也就得出了F的縱坐標，根據①的方法求出Q的坐標；③當OD=OF時，OF=2，由于O到AC的最短距離為2$\sqrt{2}$，因此此種情況是不成立的，綜合上面的情況即可得出符合條件的P的坐標

解答 解：（1）把C（0，-4）和A（4，0）代入y=ax²-2ax+c（a＞0）得，
$\left\{\begin{array}{l}{16a-8a+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-4}\end{array}\right.$
解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-4；
（2）BP=t+2，OP=-t，S_△ABC=4×6÷2=12，S_△OPC=4×（-t）÷2=2t，
①△BPE∽△BAC，則$\frac{BP}{AB}$=$\frac{2+t}{6}$，
則$\frac{{S}_{△BPE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{t+2}{6}$）²，S_△BPE=（$\frac{t+2}{6}$）²×12=$\frac{（t+2）^{2}}{3}$
S_△CPE=S_△BOC-S_△BPE-S_OPC=4-$\frac{（t+2）^{2}}{3}$-（-2t）=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$
②△BEP∽△BAC，則$\frac{BP}{BC}$=$\frac{t+2}{\sqrt{20}}$，
則$\frac{{S}_{△BEP}}{{S}_{ABC}}$=（$\frac{t+2}{\sqrt{20}}$）²，S_△BEP=（$\frac{t+2}{\sqrt{20}}$）²×12=$\frac{3（t+2）^{2}}{5}$
S_△CPE=S_△BOC-S_△BPE-S_OPC=4-$\frac{3（t+2）^{2}}{5}$-（-2t）=-$\frac{3}{5}$t²-$\frac{2}{5}$t+$\frac{8}{5}$   
（3）存在這樣的直線，使得△ODF是等腰三角形，理由為：
在△ODF中，分三種情況考慮：
①若DO=DF，如圖1：，
∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，
此時，點F的坐標為（2，-2），
由$\frac{1}{2}$x²-x-4=-2，
解得：x₁=1+$\sqrt{5}$，x₂=1-$\sqrt{5}$，
此時，點P的坐標為：P（1+$\sqrt{5}$，-2）或P（1-$\sqrt{5}$，-2）；
②若FO=FD，過點F作FM⊥x軸于點M，如圖2：，
由等腰三角形的性質得：OM=$\frac{1}{2}$OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，
∴F（1，3），
由$\frac{1}{2}$x²-x-4=-3，
解得：x₁=1+$\sqrt{3}$，x₂=1-$\sqrt{3}$，
此時，點P的坐標為：P（1+$\sqrt{3}$，-3）或P（1-$\sqrt{3}$，-3）；
③若OD=OF，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4 $\sqrt{2}$，
∴點O到AC的距離為2√2，而OF=OD=2＜2√2，與OF≥2√2矛盾，
所以AC上不存在點使得OF=OD=2，
此時，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形；
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，點Q的坐標為：Q₁（1+$\sqrt{5}$，-2）或Q₂（1-$\sqrt{5}$，-2）或Q₃（1+$\sqrt{3}$，-3）或Q₄（1-$\sqrt{3}$，-3）．

點評 本題考查了二次函數的綜合題，利用待定系數法二次函數解析式；利用三角形相似的判定與性質得出S_△BPE是解題關鍵，又利用了面積的和差求函數關系式；要注意的是（3）中不確定等腰三角形的腰是哪些線段時，要分類進行討論．