Question

3．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=45°，OC∥AD，AD交BC的延長線于D，AB交OC于E．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若AE=2$\sqrt{3}$，CE=2．求⊙O的半徑和線段BE的長．

Answer 1

分析 （1）連結OA，根據切線的性質得到OA⊥AD，再根據圓周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根據平行線的判定即可得到結論；
（2）設⊙O的半徑為R，則OA=R，OE=R-2，AE=2$\sqrt{3}$，在Rt△OAE中根據勾股定理可計算出R=4；設⊙O的半徑為R，延長CO交⊙O于F，連接AF，GJ 相似三角形的性質即可得到結論．

解答 （1）證明：連結OA，如圖，
∵AD是⊙O的切線，
∴OA⊥AD，
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∴OA⊥OC，
∴AD∥OC；
（2）解：設⊙O的半徑為R，則OA=R，OE=R-2，AE=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OAE中，∵AO²+OE²=AE²，
∴R²+（R-2）²=（2$\sqrt{3}$）²，解得R=1$+\sqrt{5}$，（負值舍去），
延長CO交⊙O于F，連接AF，
則△CEB∽△AEF，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{FE}{BE}$，
∵EF=2R-2=2$\sqrt{5}$，
∴BE=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點．經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．也考查了圓周角定理、垂徑定理和勾股定理．