Question

13．如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點E，CE=DE，⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F．
（1）求證：CD∥BF；
（2）設(shè)⊙O的半徑為5，cos∠BCD=$\frac{4}{5}$，求線段BC的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠AED=∠ABF=90°，即可解決問題．
（2）由∠BAD=∠BCD，cos∠BCD=$\frac{4}{5}$，推出cos∠BAD=$\frac{4}{5}$，在Rt△ADB中，AB=10，AD=AB•cos∠BAD=10×$\frac{4}{5}$=8，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，再根據(jù)AB垂直平分線段CD，推出BC=BD，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：∵CE=DE，
∴AB⊥DC，
∴∠AED=90°，
∵BF是⊙O的切線，
∴BF⊥AB，
∴∠ABF=90°，
∴∠AED=∠ABF，
∴CD∥BF．

（2）解：連接BD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=∠BCD，cos∠BCD=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠BAD=$\frac{4}{5}$，
在Rt△ADB中，∵AB=10，
∴AD=AB•cos∠BAD=10×$\frac{4}{5}$=8，
BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵AB垂直平分線段CD，
∴BC=BD=6．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、解直角三角形、銳角三角函數(shù)、平行線的判定、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．