Question

1．如圖，⊙O中，半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接CE、BE，AB=8，CD=2，則EC=（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 3$\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{13}$

Answer 1

分析 設⊙O的半徑為R，由OD⊥AB，根據垂徑定理得AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，根據勾股定理得到（R-2）²+4²=R²，解得R=5，則OC=3，由于OC為△ABE的中位線，則BE=2OC=6，再根據圓周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可計算出CE．

解答 解：連結BE，設⊙O的半徑為R，如圖，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，
∵OC²+AC²=OA²，
∴（R-2）²+4²=R²，解得R=5，
∴OC=5-2=3，
∴BE=2OC=6，
∵AE為直徑，
∴∠ABE=90°，
在Rt△BCE中，CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
故選D．

點評 本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理、圓周角定理．