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7.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠A=30°,AB是⊙O的直徑,過點C作⊙O的切線,交AB延長線于D,CD=6$\sqrt{3}$cm.

(1)求證:AC=CD;
(2)求AB的長;
(3)若動點M以3cm/s的速度從A出發沿AB方向運動,同時點N以1.5cm/s的速度從B點出發沿BC方向運動,設運動的時間為t(0≤t≤2),連接△BMN,當t為何值時△BMN為直角三角形?

分析 (1)連接OC,根據等腰三角形的性質得到∠OCA=∠A=30°,根據切線的性質得到∠OCD=90°,計算出∠D=30°,根據等腰三角形的判定定理證明即可;
(2)根據正切的概念求出OC的長,計算出AB的長;
(3)分∠MNB=90°和∠NMB=90°兩種情況,根據相似三角形的判定定理和性質定理列出比例式,計算即可.

解答 (1)證明:如圖1,連接OC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠A=30°,
∴∠COD=60°,
∵CD為⊙O的切線,
∴∠OCD=90°,
∴∠D=30°,
∴∠A=∠D,
∴AC=CD;
(2)解:∵∠OCD=90°,∠D=30°,CD=6$\sqrt{3}$cm,
∴OC=CD•tan∠D=6,
∴AB=12;
(3)解:如圖2,∠MNB=90°時,
由題意得,AM=3t,BN=1.5t,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,又∠MNB=90°,
∴MN∥AC,
∴$\frac{BM}{BA}$=$\frac{BN}{BC}$,即$\frac{12-3t}{12}$=$\frac{1.5t}{6}$,
解得t=2s;
如圖3,∠NMB=90°時,
△BNM∽△BAC,
∴$\frac{BM}{BC}$=$\frac{BN}{BA}$,即$\frac{12-3t}{6}$=$\frac{1.5t}{12}$,
解得t=3.2(舍去).
∴當t=2s時,△BMN為直角三角形.

點評 本題考查的是切線的性質定理、直角三角形的性質、勾股定理的應用,相似三角形的判定和性質定理,正確作出輔助線、靈活運用相關定理是解題的關鍵,注意分情況討論思想的正確應用.

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