Question

12．如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，CD平分∠ACB交⊙O于點D．
（1）AD與BD相等嗎？為什么？
（2）若AB=10，AC=6，求CD的長；
（3）若P為⊙O上異于A、B、C、D的點，試探究PA、PD、PB之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）結論：AD=BD．只要證明$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$即可．
（2）如圖2中，作DF⊥CA，垂足F在CA的延長線上，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB．由Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），推出AF=BG，由Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），推出CF=CG，由△CDF是等腰直角三角形，得CD=$\sqrt{2}$CF，求出CF即可解決問題．
（3）分三種情形討論①如圖3中，當點P在$\widehat{AB}$上時，結論：PA+PB=$\sqrt{2}$PD．②如圖4中，當點P在$\widehat{BD}$上時，結論：PA-PB=$\sqrt{2}$PD．③如圖5中，當點P在$\widehat{AD}$上時，結論：PB-PA=$\sqrt{2}$PD．

解答 解：（1）結論：AD=BD．
理由：如圖1中，

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG，
$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴DA=DB．

（2）如圖2中，作DF⊥CA，垂足F在CA的延長線上，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB．

∵∠AFD=∠BGD=90°，
在Rt△ADF和Rt△BDG，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{DF=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），
∴AF=BG．
同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），
∴CF=CG．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=6，AB=10，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
∴6+AF=8-AF，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45°，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$CF=7$\sqrt{2}$．

（3）①如圖3中，當點P在$\widehat{AB}$上時，結論：PA+PB=$\sqrt{2}$PD．

理由：將△PDB繞點D逆時針旋轉90°得到△FAD，
∵∠PAB+∠PBD=180°，∠FAD=∠PBD，
∴∠FAD+∠PAD=180°，
∴P、A、F共線，
∵∠F=∠DPB=∠BAD=45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PF=$\sqrt{2}$PD，∵PB=AF，
∴PF=PA+AF=PA+PB=$\sqrt{2}$PD．，
∴PA+PB=$\sqrt{2}$PD．

②如圖4中，當點P在$\widehat{BD}$上時，結論：PA-PB=$\sqrt{2}$PD．

理由：在AP上取一點F，使得AF=PB，
在△FAD和△PBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=PB}\\{∠FAD=∠PBD}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△PBD，
∴DF=DP，∠ADF=∠BDP，
∠FDP=∠ADB=90°，
∴△FDP是等腰直角三角形，
∴PF=$\sqrt{2}$PD，
∴PA-PB=PA-AF=PF=$\sqrt{2}$PD，
∴PA-PB=$\sqrt{2}$PD．

③如圖5中，當點P在$\widehat{AD}$上時，結論：PB-PA=$\sqrt{2}$PD．（證明方法類似②）．

點評 本題考查圓綜合題、等腰直角三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用分類討論的思考思考問題，屬于中考壓軸題．