Question

12．如圖，在y軸正半軸上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n（n為正整數(shù)），過(guò)A₁，A₂，A₃，…，A_n分別作x軸的平行線，與反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0）交于點(diǎn)B₁，B₂，B₃，…，B_n，如圖所示的Rt△B₁C₁B₂，Rt△B₂C₂B₃，Rt△B₃C₃B₄，…，Rt△B_n-1C_n-1B_n面積分別記為S₁，S₂，S₃，…，S_n-1，則S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 1-$\frac{1}{n}$
• D． 2-$\frac{1}{n}$

Answer 1

分析 設(shè)OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=a，確定A₁，A₂，A₃，A₄的橫坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求出A₁，A₂，A₃，A₄的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求出三角形的面積之和．

解答 解：設(shè)OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=a，
由題意得，
B₁（$\frac{2}{a}$，a），B₂（$\frac{2}{2a}$，2a），B₃（$\frac{2}{3a}$，3a），B₄（$\frac{2}{4a}$，4a），…，B_n（$\frac{2}{na}$，na），
則S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{a}$-$\frac{2}{2a}$）×a+$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{2a}$-$\frac{2}{3a}$）×a+$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3a}$-$\frac{2}{4a}$）×a+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{（n-1）a}$-$\frac{2}{na}$）×a
=1-$\frac{1}{n}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$中k的幾何意義，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得三角形面積為$\frac{1}{2}$|k|，是經(jīng)常考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．