Question

7．如圖，等邊△ABC中，AB=8，點D、E分別為AB、AC的中點，點M為射線BC上一動點，以DM為一邊作等邊△DMN．∠DAN=150°，DN交AE于F，線段NF的長為$\frac{2\sqrt{7}}{3}$．

Answer 1

分析 連接DE，EM，CD，由已知條件得到△ADE是等邊三角形，推出△ADN≌△CMD，由全等三角形的性質得到∠DEM=∠DAN=150°，AN=EM，得到∠CEM=30°，由三角形的外角的性質得到∠ACB=∠EM+∠CME=60°，得到CE=CM，推出四邊形DCME是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到CD=EM，等量代換得到CD=AN根據全等三角形的性質得到EN=BC=8，∠AEN=∠B=60°，根據勾股定理列方程得到MN=4$\sqrt{7}$，根據相似三角形的性質得到$\frac{DF}{FN}$=$\frac{AD}{EN}$=$\frac{1}{2}$，即可得到結論．

解答 解：連接DE，EM，CD，
∵等邊△ABC中，點D、E分別為AB、AC的中點，
∴△ADE是等邊三角形，
∴ADE=60°，
∵△NDM是等邊三角形，
∴∠NDM=60°，
∴∠ADN=∠EDM，
在△ADN與△CMD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADN=∠EDM}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△CMD，
∴∠DEM=∠DAN=150°，AN=EM，
∴∠CEM=30°，
∵∠ACB=∠EM+∠CME=60°，
∴∠CME=∠CEM=30°，
∴CE=CM，
∴DE=CM，
∵DE∥CM，
∴四邊形DCME是平行四邊形，
∴CD=EM，
∴CD=AN
∵∠DAN=150°，∠BAC=60°，
∴∠EAN=90°，
在△CBD與△NEA中$\left\{\begin{array}{l}{CD=AN}\\{∠BDC=∠EAN=90°}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△NEA，
∴EN=BC=8，∠AEN=∠B=60°，
∴∠NEM=90°，
∴MN²=EN²+EM²=BC²+CD²=8²+（4$\sqrt{3}$）²
∴MN=4$\sqrt{7}$，
∴DN=4$\sqrt{7}$，
∵∠DAE=∠AEN=60°，
∴AD∥EN，
∴△ADF∽△EFN，
∴$\frac{DF}{FN}$=$\frac{AD}{EN}$=$\frac{1}{2}$，
∴NF=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{7}}{3}$．

點評 本題考查了全等三角形的判斷和性質，相似三角形，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．