Question

5．正方形ABCD，AB=4，E是CD中點，BF=3CF，點M，N為線段BD上的動點，MN=$\sqrt{2}$，求四邊形EMNF周長的最小值$\sqrt{13}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先作點E關于BD的對稱點G，則點G在AD上，連接GM，過G作BD的平行線，截取GH=MN=$\sqrt{2}$，連接HN，則四邊形GHNM是平行四邊形，進而得出HN=GM=EM，
過H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，則∠HPG=∠HQF=90°，PQ=AB=4，當點H、N、F在同一直線上時，HN+NF=HF（最短），此時ME+NF最短，最后根據勾股定理求得HF和EF的長，即可得到四邊形EMNF周長的最小值．

解答 解：作點E關于BD的對稱點G，則點G在AD上，
連接GM，過G作BD的平行線，截取GH=MN=$\sqrt{2}$，連接HN，則四邊形GHNM是平行四邊形，
∴HN=GM=EM，
過H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，則∠HPG=∠HQF=90°，PQ=AB=4，
∵∠PGH=∠ADB=45°，
∴HP=PG=$\frac{HG}{\sqrt{2}}$=1，HQ=4-1=3，
由軸對稱的性質，可得DG=ED=2，
∴AP=4-2-1=1，
∴BQ=1，
又∵BF=3CF，BC=4，
∴CF=1，
∴QF=4-1-1=2，
∵當點H、N、F在同一直線上時，HN+NF=HF（最短），
此時ME+NF最短，
∴Rt△HQF中，FH=$\sqrt{H{Q}^{2}+F{Q}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
即ME+NF最短為$\sqrt{13}$，
又∵Rt△CEF中，EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴ME+NF+MN+EF=$\sqrt{13}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
∴四邊形EMNF周長的最小值為$\sqrt{13}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{13}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了最短路線問題，正方形的性質，勾股定理，軸對稱的性質以及平行四邊形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造平行四邊形和直角三角形，依據兩點之間，線段最短進行求解．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，多數情況要作點關于某直線的對稱點．