Question

16．一種商品的銷售單價為7元時，每天的銷售利潤為16元，銷售單價為5元時，每天不虧不盈，已知這種商品每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間滿足y=ax²+bx-75．
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）當銷售單價為多少元，這種商品每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
（3）若這種商品每天的銷售利潤不低于16元，則銷售單價應定在什么范圍？

Answer 1

分析 （1）將（7，16）、（5，0）代入y=ax²+bx-75，解方程組即可得；
（2）配方成頂點式即可得最值情況；
（3）根據函數值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．

解答 解：（1）將點（7，16）、（5，0）代入y=ax²+bx-75，
得：$\left\{\begin{array}{l}{49a+7b-75=16}\\{25a+5b-75=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=20}\end{array}\right.$，
故拋物線解析式為：y=-x²+20x-75

（2）y=-x²+20x-75=-（x-10）²+25，
當x=10是，y取得最大值25，
答：銷售單價為10元時，該種商品每天的銷售利潤最大，最大利潤為25元；

（2）∵函數y=-x²+20x-75圖象的對稱軸為直線x=10，
可知點（7，16）關于對稱軸的對稱點是（13，16），
又∵函數y=-x²+20x-75圖象開口向下，
∴當7≤x≤13時，y≥16．
答：銷售單價不少于7元且不超過13元時，該種商品每天的銷售利潤不低于16元．

點評 本題考查了待定系數求二次函數解析式、二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是關鍵．