Question

7．當m，n是實數且滿足m-n=mn時，就稱點Q（m，$\frac{m}{n}}$）為“奇異點”，已知點A、點B是“奇異點”且都在反比例函數y=$\frac{2}{x}$的圖象上，點O是平面直角坐標系原點，則△OAB的面積為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 設A（a，$\frac{a}{b}$），利用新定義得到a-b=ab，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征得到a•$\frac{a}{b}$=2，a-$\frac{{a}^{2}}{2}$=a³，則可解得a和b的值，所以A（-2，-1），B（1，2），接著利用待定系數法求出直線AB的解析式．從而得到直線AB與y軸的交點坐標，然后根據三角形面積公式計算△OAB的面積．

解答 解：設A（a，$\frac{a}{b}$），
∵點A是“奇異點”，
∴a-b=ab，
∵a•$\frac{a}{b}$=2，則b=$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∴a-$\frac{{a}^{2}}{2}$=a³，
而a≠0，整理得a²+a-2=0，解得a₁=-2，a₂=1，
當a=-2時，b=2；當a=1時，b=$\frac{1}{2}$，
∴A（-2，-1），B（1，2），
設直線AB的解析式為y=mx+n，
把A（-2，-1），B（1，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=-1}\\{m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直線AB與y軸的交點坐標為（0，1），
∴△OAB的面積=$\frac{1}{2}$×1×（2+1）=$\frac{3}{2}$．
故選B．

點評 本題考查了反比例函數比例系數k的幾何意義：在反比例函數y=$\frac{k}{x}$圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|，在反比例函數的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不變．