Question

9．如圖，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm，（a＞b＞4），半徑為2cm的⊙O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切，現(xiàn)有動點P從A點出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動，當點P到達D點時停止移動．⊙O在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移，移動到與CD相切時立即沿原路按原路返回，當⊙O回到出發(fā)時的位置（即再次與AB相切）時停止移動，已知點P與⊙O同時開始移動，同時停止移動（即同時到達各自的終止位置）．
（1）如圖①，點P從A→B→C→D，全程共移動了a+2bcm（用含a、b的代數(shù)式表示）；
（2）如圖①，已知點P從A點出發(fā)，移動2s到達B點，繼續(xù)移動3s，到達BC的中點，若點P與⊙O的移動速度相等，求在這5s時間內(nèi)圓心O移動的距離；
（3）如圖②，已知a=20，b=10，是否存在如下情形：當⊙O到達⊙O₁的位置時（此時圓心O₁在矩形對角線BD上），DP與⊙O₁恰好相切？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；
（2）根據(jù)圓O移動的距離與P點移動的距離相等，P點移動的速度相等，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得a、b的值，根據(jù)速度與時間的關系，可得答案；
（3）根據(jù)相同時間內(nèi)速度的比等于路程的比，可得$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$的值，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得∠ADB=∠BDP，根據(jù)等腰三角形的判定，可得BP與DP的關系，根據(jù)勾股定理，可得DP的長，根據(jù)有理數(shù)的加法，可得P點移動的距離；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得EO₁的長，分類討論：當⊙O首次到達⊙O₁的位置時，當⊙O在返回途中到達⊙O₁位置時，根據(jù)$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$的值，可得答案．

解答 解：（1）如圖①，點P從A→B→C→D，全程共移動了（ a+2b）cm；
故答案為：a+2b；

（2）∵圓心O移動的距離為2（a-4）cm，
由題意，得
a+2b=2（a-4）①，
∵點P移動2秒到達B，即點P2s移動了bcm，點P繼續(xù)移動3s到達BC的中點，
即點P3秒移動了$\frac{1}{2}$acm．
∴$\frac{b}{2}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{3}$   ②
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}{a=24}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∵點P移動的速度為與⊙O移動速度相同，
∴⊙O移動的速度為$\frac{b}{2}$=$\frac{8}{2}$=4cm（cm/s）．
這5秒時間內(nèi)⊙O移動的距離為5×4=20（cm）；
（3）存在這種情況，
設點P移動速度為v₁cm/s，⊙O₂移動的速度為v₂cm/s，
由題意，得$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{a+2b}{2（a-4）}$=$\frac{20+2×10}{2（20-4）}$=$\frac{5}{4}$，
如圖②：
設直線OO₁與AB交于E點，與CD交于F點，⊙O₁與AD相切于G點，
若PD與⊙O₁相切，切點為H，則O₁G=O₁H．
易得△DO₁G≌△DO₁H，
∴∠ADB=∠BDP．
∵BC∥AD，
∴∠ADB=∠CBD
∴∠BDP=∠CBD，
∴BP=DP．
設BP=xcm，則DP=xcm，PC=（20-x）cm，
在Rt△PCD中，由勾股定理，得
PC²+CD²=PD²，即（20-x）²+10²=x²，
解得x=$\frac{25}{2}$
此時點P移動的距離為10+$\frac{25}{2}$=$\frac{45}{2}$（cm），
∵EF∥AD，
∴△BEO₁∽△BAD，
∴$\frac{E{O}_{1}}{AD}$=$\frac{BE}{BA}$，即$\frac{E{O}_{1}}{20}$=$\frac{8}{10}$，
EO₁=16cm，OO₁=14cm．
①當⊙O首次到達⊙O₁的位置時，⊙O移動的距離為14cm，
此時點P與⊙O移動的速度比為$\frac{\frac{45}{2}}{14}$=$\frac{45}{28}$，
∵$\frac{45}{28}$≠$\frac{5}{4}$，
∴此時PD與⊙O₁不能相切；
②當⊙O在返回途中到達⊙O₁位置時，⊙O移動的距離為2（20-4）-14=18cm，
∴此時點P與⊙O移動的速度比為$\frac{\frac{45}{2}}{18}$=$\frac{45}{36}$=$\frac{5}{4}$，
此時PD與⊙O₁恰好相切．

點評 本題考查了圓的綜合題，（1）利用了有理數(shù)的加法，（2）利用了P與⊙O的路程相等，速度相等得出方程組是解題關鍵，再利用路程與時間的關系，得出速度，最后利用速度乘以時間得出結果；（3）利用了相等時間內(nèi)速度的比等于路程的比，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等時間內(nèi)速度的比等于路程的比是解題關鍵．