Question

20．如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=1．tan∠BAO=3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t，
①設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸l與x軸交于一點(diǎn)E，連接PE，交CD于F，求出當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②是否存在一點(diǎn)P，使△PCD得面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)的定義可求得OB，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)可得到A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）①△COD為直角三角形，可知當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)有兩種情況，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，當(dāng)PE⊥CE時(shí)，則可得拋物線的頂點(diǎn)滿足條件，當(dāng)PE⊥CD時(shí)，過(guò)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，可證△PGE∽△COD，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；②可求得直線CD的解析式，過(guò)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)M，可用t表示出PM的長(zhǎng)，當(dāng)PM取最大值時(shí)，則△PCD的面積最大，可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵OA=1．tan∠BAO=3，
∴$\frac{OB}{OA}$=3，解得OB=3，
又由旋轉(zhuǎn)可得OB=OC=3，
∴A（1，0），B（0，3），C（-3，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²-2x+3，
（2）①由（1）可知拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），
∵△COD為直角三角形，
∴當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)有兩種情況，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，
若∠FEC=90°，則PE⊥CE，
∵對(duì)稱(chēng)軸與x軸垂直，
∴此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)即為滿足條件的P點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）；
若∠EFC=90°，則PE⊥CD，
如圖，過(guò)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，

則∠GPE+∠PEG=∠DCO+∠PEG，
∴∠GPE=∠OCD，且∠PGE=∠COD=90°，
∴△PGE∽△COD，
∴$\frac{PG}{OC}$=$\frac{GE}{OD}$，
∵E（-1，0），G（t，0），且P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，
∴GE=-1-t，PG=-t²-2t+3，
∴$\frac{-{t}^{2}-2t+3}{3}$=$\frac{-1-t}{1}$，解得t=-2或t=3，
∵P點(diǎn)在第二象限，
∴t＜0，即t=-2，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3），
綜上可知滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）或（-2，3）；
②設(shè)直線CD解析式為y=kx+m，
把C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+m=0}\\{m=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{m=1}\end{array}\right.$，
∴直線CD解析式為y=$\frac{1}{3}$x+1，
如圖2，過(guò)P作PN⊥x軸，交x軸于點(diǎn)N，交直線CD于點(diǎn)M，

∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，
∴PN=-t²-2t+3，MN=$\frac{1}{3}$t+1，
∵P點(diǎn)在第二象限，
∴P點(diǎn)在M點(diǎn)上方，
∴PM=PN-MN=-t²-2t+3-（$\frac{1}{3}$t+1）=-t²-$\frac{7}{3}$t+2=-（t+$\frac{7}{6}$）²+$\frac{121}{36}$，
∴當(dāng)t=-$\frac{7}{6}$時(shí)，PM有最大值，最大值為$\frac{121}{36}$，
∵S_△PCD=S_△PCM+S_△PDM=$\frac{1}{2}$PM•CN+$\frac{1}{2}$PM•NO=$\frac{1}{2}$PM•OC=$\frac{3}{2}$PM，
∴當(dāng)PM有最大值時(shí)，△PCD的面積有最大值，
∴（S_△PCD）_max=$\frac{3}{2}$×$\frac{121}{36}$=$\frac{121}{24}$，
綜上可知存在點(diǎn)P使△PCD的面積最大，△PCD的面積有最大值為$\frac{121}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有三角函數(shù)的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、三角形相似的判定和性質(zhì)及分類(lèi)思想等．在（1）中求得C點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意P點(diǎn)的位置分兩種情況，在（3）中注意利用二次函數(shù)求最值．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度很大．