Question

19．如圖，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=2$\sqrt{6}$，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CB，CA分別相交于點(diǎn)M，N，則線段MN長(zhǎng)度的最小值是3．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，以CF為直徑作圓與CB、CA分別相交于點(diǎn)M、N，連接OM、ON，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥MN于點(diǎn)E，此時(shí)線段MN最短，由∠CFA=90°、∠A=45°、AC=2$\sqrt{6}$，即可得出CF的長(zhǎng)度，再由∠BCA=60°結(jié)合垂徑定理即可得出∠MOE=60°，通過(guò)解直角三角形即可得出ME的長(zhǎng)度，乘2后即可得出結(jié)論．

解答 解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，以CF為直徑作圓與CB、CA分別相交于點(diǎn)M、N，連接OM、ON，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥MN于點(diǎn)E，如圖所示．
∵CF⊥AB，此時(shí)圓的直徑最小，∠MON=2∠MCN為定值，
∴線段MN此時(shí)長(zhǎng)度最小．
∵∠CFA=90°，∠A=45°，AC=2$\sqrt{6}$，
∴CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=2$\sqrt{3}$．
∵∠BCA=60°，
∴∠MON=120°，
∵OE⊥MN于點(diǎn)E，
∴∠MOE=60°．
∵OM=OC=$\frac{1}{2}$CF=$\sqrt{3}$，∠MOE=60°，
∴ME=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OM=$\frac{3}{2}$，
∴MN=2ME=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、垂徑定理以及解直角三角形，找出線段MN取最小值時(shí)點(diǎn)M、N的位置是解題的關(guān)鍵．