Question

6．如圖，已知：⊙O的直徑AB與弦AC的夾角∠A=30°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P．
（1）求證：AC=CP；
（2）若⊙O的半徑為$2\sqrt{3}$，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OC．根據圓周角定理即可求得∠COP=2∠ACO=60°，根據切線的性質定理以及直角三角形的兩個銳角互余，求得∠P=30°，即可證明；
（2）陰影部分的面積即為Rt△OCP的面積減去扇形OCB的面積．

解答 （1）證明：連接OC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴AO=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠COP=2∠ACO=60°．
∵PC切⊙O于點C，
∴OC⊥PC．
∴∠P=30°．
∴∠A=∠P．
∴AC=PC．

（2）解：在Rt△OCP中，tan∠P=$\frac{OC}{CP}$，∵OC=2$\sqrt{3}$OC=2$\sqrt{3}$，∠P=∠A=30°，
∴PC=6，
∵S_△OCP=$\frac{1}{2}$CP•OC=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$且S_扇形COB=$\frac{60•π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=2π，
∴S_陰影=S_△OCP-S_扇形COB=6$\sqrt{3}$-2π．

點評 本題考查切線的性質定理、圓周角定理、扇形的面積公式、等腰三角形的判定、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用分割法求陰影部分面積，屬于中考常考題型．