Question

15．已知一個三次多項式除以x²-9的余式為3x-5，除以x²-16余式-2x-7，求這個三次多項式．

Answer 1

分析 設所求三次多項式A=ax³+bx²+cx+d（a≠0），A除以x²-9，x²-16時，商式分別為ax+m，ax+n，則ax³+bx²+cx+d=（x²-9）（ax+m）+3x-5①，ax³+bx²+cx+d=（x²-16）（ax+n）-2x-7②，用特值法列出方程組，從而確定a，b，c，d這4個系數．

解答 解：設所求三次多項式A=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
A除以x²-9，x²-16時，商式分別為ax+m，ax+n，
則ax³+bx²+cx+d=（x²-9）（ax+m）+3x-5①，
ax³+bx²+cx+d=（x²-16）（ax+n）-2x-7②，
在①式中分別取x=3，-3時，
27a+9b+3c+d=4③，
-27a+9b-3c+d=-1④，
在②式中分別取x=4，-4時，
64a+16b+4c+d=-15⑤，
-64a+16b-4c+d=1⑥，
聯立③④⑤⑥，解得：a=-$\frac{17}{42}$，b=-$\frac{17}{14}$，c=$\frac{94}{21}$，d=$\frac{87}{7}$．
故所求的三次多項式為-$\frac{17}{42}$x³-$\frac{17}{14}$x²+$\frac{94}{21}$x+$\frac{87}{7}$．

點評 本題考查多項式的除法，弄清被除式、除式、商、余式四者之間的關系是解題的關鍵．其中（3）用特值法列方程組求解，難度較大．