Question

7．如圖，菱形ABCD的邊長為5，對角線AC=8．
（1）用尺規(guī)作出經(jīng)過A、B、C三點的圓；
（2）求這個圓的半徑的長；
（3）判斷點D和這個圓的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形外接圓的作法得出圓心位置，進而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合菱形的性質(zhì)得出半徑長；
（3）利用點與圓的位置關(guān)系判定方法得出答案．

解答 解：（1）如圖所示：⊙O即為所求；

（2）由題意可得：∠ABF=∠OBE，∠DEB=∠AFB=90°，
故△OEB∽△AFB，
則$\frac{BE}{BF}$=$\frac{AB}{OB}$，
∵菱形ABCD的邊長為5，對角線AC=8，
∴AF=4，則BF=3，BE=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{3}$=$\frac{BO}{5}$，
解得：BO=$\frac{25}{6}$，
即這個圓的半徑的長為$\frac{25}{6}$；

（3）點D在圓內(nèi)，
理由：∵菱形ABCD的邊長為5，對角線AC=8，
∴AF=4，則BF=3，
∴BD=6，
∴DO=6-$\frac{25}{6}$=$\frac{11}{6}$＜$\frac{25}{6}$，
∴點D在圓內(nèi)．

點評 此題主要考查了復(fù)雜作圖以及菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．