Question

1．（1）先化簡，再求值：$\frac{x}{{x}^{2}-2x+1}$÷（$\frac{x+1}{{x}^{2}-1}$+1），其中x=$\sqrt{2}$+1；
（2）已知：x=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，y=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，求$\frac{{x}^{3}-x{y}^{2}}{{x}^{4}y+2{x}^{3}{y}^{2}+{x}^{2}{y}^{3}}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先把括號內的分式通分相加，把除法轉化為乘法，然后進行乘法運算即可化簡，再代入數值計算即可；
（2）把所求的分式的分子和分母分解因式，然后對x和y進行化簡，代入求值．

解答 解：（1）原式=$\frac{x}{（x-1）^{2}}$÷$\frac{x+1+{x}^{2}-1}{（x+1）（x-1）}$
=$\frac{x}{（x-1）^{2}}$÷$\frac{x（x+1）}{（x+1）（x-1）}$
=$\frac{x}{（x-1）^{2}}$•$\frac{（x+1）（x-1）}{x（x+1）}$
=$\frac{1}{x-1}$，
當x=$\sqrt{2}$+1時，原式=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）原式=$\frac{x（x+y）（x-y）}{{x}^{2}y（x+y）^{2}}$=$\frac{x-y}{xy（x+y）}$．
∵x=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$=（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）²=5+2$\sqrt{6}$，y=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）²=5-2$\sqrt{6}$，
∴xy=1，x+y=10，x-y=4$\sqrt{6}$．
∴原式=$\frac{4\sqrt{6}}{10}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

點評 本題考查了分式的化簡求值以及二次根式的運算，正確對分式的分子、分母進行分解因式是關鍵．