Question

12．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處；再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點B'處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F，則AD=$\frac{18}{5}$；B'F=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 首先根據折疊可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，進而求得∠B′FD=90°，CE=EF=$\frac{12}{5}$，ED=AE=$\frac{9}{5}$，從而求得B′D=1，DF=$\frac{3}{5}$，即可求出B'F．

解答 解：根據折疊的性質可知，CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D=4-3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FD=90°，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根據勾股定理求得AB=5，
∴CE=$\frac{12}{5}$，
∴EF=$\frac{12}{5}$，ED=AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴AD=2×$\frac{9}{5}$=$\frac{18}{5}$，DF=EF-ED=$\frac{3}{5}$，
∴B'F=BF=AB-AD-DF=$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{18}{5}$，$\frac{4}{5}$．

點評 此題主要考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質，勾股定理的應用等，根據折疊的性質求得相等的角是解決本題的關鍵．