Question

3．如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，AC⊥x軸，它的頂點A的坐標為（10，0），C（10，$\frac{20\sqrt{3}}{3}$），點P從點A出發，沿A→B→C的方向勻速運動，同時點Q從點D（0，2）出發，沿y軸正方向以相同速度運動，當點P到達點C時，兩點同時停止運動，若P點的速度為2單位/秒，設P運動的時間為t秒．
（1）求∠BAO的度數．（直接寫出結果）
（2）求出B點的坐標．
（3）當P在邊AB上運動時，t取何值時，OP=OQ．
（4）當P沿A→B→C運動時，是否存在PO=PQ，若存在，求出此時的時間t，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）結合圖形，計算即可；
（2）（2）作BH⊥OA于H，根據余弦的概念求出AB，根據直角三角形的性質求出AH、BH，確定B點的坐標；
（3）作PM⊥OA于M，根據正弦的定義用t表示出PM、OP，根據題意列出算式，計算即可；
（4）分P在AB上和P在BC上兩種情況，根據等腰三角形的性質定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵∠CAB=30°，AC⊥x軸，
∴∠BAO=90°-30°=60°；
（2）作BH⊥OA于H，
由題意得，AC=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，OA=10，
∵∠CAB=30°，
∴AB=AC•cos∠CAB=10，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=5，BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=5$\sqrt{3}$，
則OH=OA-OH=5，
∴B點的坐標為（5，5$\sqrt{3}$）；
（3）如圖2，作PM⊥OA于M，
∵AP=2t，∠OAB=60°，
∴PM=AP•sin∠OAB=$\sqrt{3}$t，
∴OP=2PM=2$\sqrt{3}$t，
∵OP=OQ，
∴2t+2=2$\sqrt{3}$t，
解得，t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
即當t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$時，OP=OQ；
（4）當P在AB上時，P點縱坐標為$\sqrt{3}$t，
∵PO=PQ，
∴$\sqrt{3}$t=$\frac{2+2t}{2}$，
解得，t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
當P在BC上時，$\frac{2t-5}{2}$+5$\sqrt{3}$=$\frac{2+2t}{2}$，
此方程無解，
故當t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$時，OP=OQ．

點評 本題直角三角形的性質、銳角就是說的定義，掌握解直角三角形的應用、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．