Question

13．已知，AB∥CD，點E為射線FG上一點．
（1）如圖1，直接寫出∠EAF、∠AED、∠EDG之間的數量關系；
（2）如圖2，當點E在FG延長線上時，求證：∠EAF=∠AED+∠EDG；
（3）如圖3，AI平分∠BAE，DI交AI于點I，交AE于點K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求
∠EKD的度數．

Answer 1

分析 （1）過E作EH∥AB，根據兩直線平行，內錯角相等，即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；
（2）設CD與AE交于點H，根據∠EHG是△DEH的外角，即可得出∠EHG=∠AED+∠EDG，進而得到∠EAF=∠AED+∠EDG；
（3）設∠EAI=∠BAI=α，則∠CHE=∠BAE=2α，進而得出∠EDI=α+10°，∠CDI=$\frac{1}{2}$α+5°，再根據∠CHE是△DEH的外角，可得∠CHE=∠EDH+∠DEK，即2α=$\frac{1}{2}$α+5°+α+10°+20°，求得α=70°，即可根據三角形內角和定理，得到∠EKD的度數．

解答 解：（1）∠AED=∠EAF+∠EDG．
理由：如圖1，過E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠EAF=∠AEH，∠EDG=∠DEH，
∴∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；

（2）證明：如圖2，設CD與AE交于點H，
∵AB∥CD，
∴∠EAF=∠EHG，
∵∠EHG是△DEH的外角，
∴∠EHG=∠AED+∠EDG，
∴∠EAF=∠AED+∠EDG；

（3）∵AI平分∠BAE，
∴可設∠EAI=∠BAI=α，則∠BAE=2α，
∵AB∥CD，
∴∠CHE=∠BAE=2α，
∵∠AED=20°，∠I=30°，∠DKE=∠AKI，
∴∠EDI=α+30°-20°=α+10°，
又∵∠EDI：∠CDI=2：1，
∴∠CDI=$\frac{1}{2}$∠EDK=$\frac{1}{2}$α+5°，
∵∠CHE是△DEH的外角，
∴∠CHE=∠EDH+∠DEK，
即2α=$\frac{1}{2}$α+5°+α+10°+20°，
解得α=70°，
∴∠EDK=70°+10°=80°，
∴△DEK中，∠EKD=180°-80°-20°=80°．

點評 本題主要考查了平行線的性質，三角形外角性質以及三角形內角和定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角，運用三角形外角性質進行計算求解．解題時注意：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．