Question

2．觀察與探究：

（1）觀察圖形，填寫下表：

圖形	（1）	（2）	（3）
正方形的個數	2	5	9
圖形的周長	8	12	16

（2）推測第n個圖形中，正方形的個數為$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，周長為4n+4．

Answer 1

分析 （1）根據已知圖形可以計算出圖形（2）圖形（3）的正方形個數、圖形周長；
（2）觀察（1）的規律，發現正方形個數可以利用等差數列加圖形序號表示，而圖形周長則可以通過圖形四個方向線段和求解；

解答 解：（1）正方形個數可以根據圖形得出；
圖形的周長可以根據圖形四個方向計算得出；
故答案為：5，9，12，16．

（2）通過觀察發現以下規律：
圖形1，正方形個數：1+1，
圖形2，正方形個數：1+2+2，
圖形3，正方形個數：1+2+3+3，
圖形4，正方形個數：1+2+3+4+4，
∴根據以上規律：
圖形n，正方形個數：1+2+3+4+5+…+n+n=$\frac{（1+n）n}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$；
通過觀察圖形從圖形四個方向觀察圖形周長：
圖形1，圖形的周長：2+2+2+2，
圖形2，圖形的周長：3+3+3+3，
圖形3，圖形的周長：4+4+4+4，
圖形4，圖形的周長：5+5+5+5，
∴根據以上規律：
圖形n，圖形的周長：n+1+n+1+n+1+n+1=4n+4，
故答案為：$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，4n+4．

點評 題目考查了圖形的變化類，屬于規律型題目求解，解決此類問題一定要找到圖形序號與待求關系量之間的關系，另外掌握等差數列的求和公式對學生解決此類問題有很大幫助．