Question

11．如圖1，直線y=2x-2與曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）相交于點A（2，n），與x軸、y軸分別交于點B、C．
（1）求曲線的解析式；
（2）試求AB•AC的值？
（3）如圖2，點E是y軸正半軸上一動點，過點E作直線AC的平行線，分別交x軸于點F，交曲線于點D．是否存在一個常數k，始終滿足：DE•DF=k？如果存在，請求出這個常數k；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先把A代入直線解析式求得A的坐標，然后利用待定系數法求得反比例函數解析式；
（2）首先求得A和B的坐標，過A作AM⊥x軸于點M，然后利用勾股定理求得AB和BC的長，則AB和AC的長即可求得，則兩線段的乘積即可求得；
（3）過點D作DN⊥x軸于點N．過點E作EG⊥DN于點G，易證△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．

解答 解：（1）∵直線y=2x-2經過點A（2，n），
∴n=2×2-2=2，即A的坐標是（2，2），
把（2，2）代入y=$\frac{m}{x}$得m=4，
則反比例函數的解析式是y=$\frac{4}{x}$（x＞0）；
（2）過A作AM⊥x軸于點M．
在y=2x-2中，令x=0解得y=-2，則C的坐標是（0，-2），令y=0，則2x-2=0，解得x=1，則B的坐標是（1，0）；
則AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
則AB•AC=$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=10；
（3）存在常數k，過點D作DN⊥x軸于點N．過點E作EG⊥DN于點G，則∠AMB=∠DNF=∠DGE=90°，
設D的坐標是（a，$\frac{4}{m}$），則EG=a，DN=$\frac{4}{m}$，
∵DF∥AC，EG∥FN，
∴∠ABM=∠DFG=∠DEG，
∴△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，
∴$\frac{DF}{DN}$=$\frac{AB}{AM}$，有DF：$\frac{4}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，則DF=2$\sqrt{5}$a，
又$\frac{AB}{BM}$=$\frac{ED}{EG}$，有$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\frac{EG}{a}$，則ED=$\sqrt{5}$a，
于是，DE•DF=$\sqrt{5}$a•$\frac{2\sqrt{5}}{a}$=10．
即存在常數k=10．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式以及相似三角形的判定與性質，正確作出輔助線，構造相似三角形是關鍵．