Question

19．如圖，AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，點A為切點，BP與⊙O交于點C，點D是AP的中點，連結CD．
（1）證明：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=2，∠P=30°，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）連結OC，AC，由圓周角定理和切線的性質得出∠ABP=90°，∠ACP=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質得出DC=$\frac{1}{2}$AP=DA，由等腰三角形的性質得出∠DAC=∠DCA，∠OAC=∠OCA，證出∠OCD=90°，即可得出結論；     
（2）由含30°角的直角三角形的性質得出BP=2AB=4，由勾股定理求出AP，再由直角三角形斜邊上的中線性質得出CD的長即可．

解答 （1）證明：連結OC，AC，如圖所示：
∵AB是⊙O的直徑，AP是切線，
∴∠ABP=90°，∠ACP=90°，
∵點D是AP的中點，
∴DC═$\frac{1}{2}$AP=DA，
∴∠DAC=∠DCA，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；      
（2）解：∵在Rt△ABP中，∠P=30°，
∴BP=2AB=4，$AP=\sqrt{B{P^2}-A{B^2}}=2\sqrt{3}$，
在Rt△ACP中，∵點D是AP的中點，
∴$CD=\frac{1}{2}AP=\sqrt{3}$．

點評 本題綜合考查了圓周角定理、切線的判定與性質、等腰三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線性質、含30°角的直角三角形的性質；熟練掌握切線的判定與性質是解決問題的關鍵．