Question

12．如圖，已知：CA⊥AB，DB⊥AB，AD與BC交于點E，∠CAD=∠DBC．求證：CA=DB．

Answer 1

分析 先根據垂直定義得到∠CAB=∠DBA=90°，再利用等角的余角相等得到∠DAB=∠CBA，于是可根據“ASA”判斷△CAB≌△DBA，然后根據全等三角形的性質得CA=DB．

解答 證明：如圖，
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠CAB=∠DBA=90°，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAB-∠CAD=∠DBA-∠DBC，即∠DAB=∠CBA，
在△CAB和△DBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAB=∠DBA}\\{AB=BA}\\{∠CAB=∠DAB}\end{array}\right.$，
∴△CAB≌△DBA，
∴CA=DB．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形；在應用全等三角形的性質時主要是得到對應角相等或對應線段相等．