Question

4．如圖，在△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，BE與CF相交于點D，且BD=AC，點G在CF的延長線上，且CG=AB．
（1）證明：△ABD≌△GCA；
（2）判斷△ADG是怎樣的三角形；
（3）證明：GF=FD．

Answer 1

分析 （1）根據余角的性質得到∠ABD=∠GCA，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；
（2）根據全等三角形的性質得到AD=AG，根據余角的性質得到∠BAD+∠GAF=90°，即可得到結論；
（3）根據等腰三角形的性質即可得到結論．

解答 （1）證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABD=90°-∠BAC，∠GCA=90°-∠BAC，
∴∠ABD=∠GCA，
在△ABD和△GCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AC}\\{∠ABD=∠GCA}\\{CG=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△GCA；

（2）∵△ABD≌△GCA，
∴AD=AG，
又∵∠BAD=∠G，∠G+∠GAF=90°，
∴∠BAD+∠GAF=90°，
∴∠DAG=90°，
∴△ADG是等腰直角三角形；

（3）∵AF⊥DG，AD=AG，
∴GF=FD．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．