Question

20．已知△ABC是等邊三角形且邊長為$\sqrt{7}$．

（1）如圖1，若△CDE為等邊三角形，A、C、D在一條直線上，且∠DAE=30°時，求BD；
（2）如圖2，若∠CEB=60°，EB=3，CE=2，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得到AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，根據全等三角形的性質得到∠CAE=∠CBD，解直角三角形即可得到結論；
（2）作∠EAF=60°，且AF=AE，則△AEF是等邊三角形，連接CF，EF，根據全等三角形的性質得到∠ABE=∠ACF，CF=BE=4，根據三角形的內角和得到∠EBC+∠BCE=120°，推出∠ECF=120°，過E作ED⊥FC交FC的延長線于D，解直角三角形即可得到結論．

解答 解：（1）∵△ABC與△CDE是等邊三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE與△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
∵∠DAE=30°，
∴∠CBD=30°，
∴∠ABD=90°，
∵∠BAC=60°，AB=$\sqrt{7}$，
∴AD=2$\sqrt{7}$；

（2）作∠EAF=60°，且AF=AE，
則△AEF是等邊三角形，
連接CF，EF，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE與△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF，
∴∠ABE=∠ACF，CF=BE=4，
∵∠CEB=60°，
∴∠EBC+∠BCE=120°，
∵∠ACF=∠ABE=60°+∠CBE，
∴∠ACF+∠ACE=240°，
∴∠ECF=120°，
過E作ED⊥FC交FC的延長線于D，
則∠DCE=60°，∠DEC=30°，
∵CE=2，
∴CD=1，
∴DE=$\sqrt{3}$，
∴DF=1+CF=1+BE=4，
∴EF=$\sqrt{16+3}$=$\sqrt{19}$，
∴AE=$\sqrt{19}$．

點評 本題考查了全等三角形的判斷和性質，等邊三角形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．