Question

19．如圖，正方形ABCD的邊長為12，劃分成12×12個小正方形格．將邊長為n（n為整數，且2≤n≤11）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式黑白相間地擺放，第一張n×n的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的n×n個小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為（n-1）×（n-1）的正方形．如此擺放下去，最后直到紙片蓋住正方形ABCD的右下角為止．請你認真觀察思考后回答下列問題：
（1）由于正方形紙片邊長n的取值不同，完成擺放時所使用正方形紙片的張數也不同，當n=2時，所需的紙片張數為11張；
（2）設正方形ABCD被紙片蓋住的面積（重合部分只計一次）為S₁，未被蓋住的面積為S₂．
①當n=2時，求S₁：S₂的值；
②是否存在使得S₁=S₂的n值，若存在，請求出這樣的n值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意，可得應蓋住正方形ABCD的對角線上的12個格．當是邊長為2的紙片時，則需要1+（12-2）=11張紙片．
（2）①第一個面積為n²，第二個為一個包邊，共有12-n個，每個由2n-1個小正方形構成，包邊的總面積為（12-n）×（2n-1），由此得出S₁=（12-n）×（2n-1）+n²；S₂=144-（12-n）×（2n-1）-n²，代入計算得出答案即可；
②由①得出答案即可．

解答 解：（1）根據題意可得，應蓋住正方形ABCD的對角線上的12個格．當是邊長為2的紙片時，則需要1+（12-2）=11張紙片．
故答案為：11；

（2）第一個面積為n²，第二個為一個包邊，共有12-n個，每個由2n-1個小正方形構成，包邊的總面積為（12-n）×（2n-1）
∴①S₁=10×3+4=34，S₂=144-34=110．
∴S₁：S₂的值是34：110=17：55．
②根據題意，得S₁=（12-n）×（2n-1）+n²；S₂=144-（12-n）×（2n-1）-n²，
若S₁=S₂時，（12-n）×（2n-1）+n²=144-（12-n）×（2n-1）-n²，
整理得，則n=4或21．
∵2≤n≤11，
∴n=21舍去，
故n=4．

點評 本題考查圖形的變化規律及整式的運算和解方程的能力，找出被紙片蓋住的面積和未被蓋住的面積，變化的規律是解決問題的關鍵．