Question

7．現有一副直角三角板（角度分別為30°、60°、90°和45°、45°、90°）如圖（1）放置，其中一塊三角板的直角邊AC垂直于數軸，AC的中點過數軸的原點O，AC=8，斜邊AB交數軸于點G，點G對應數軸上的數是4；另一塊三角板的直角邊AE交數軸于點F，斜邊AD交數軸于點H．
（1）如果△AGH的面積是10，△AHF的面積是8，則點F對應數軸上的數是-5，點H對應數軸上的數是-1；
（2）如圖（2），設∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點M，若∠HAO=α，試用α來表示∠M的大小；
（3）如圖（2），設∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點M，設∠EFH的平分線和∠FOC的平分線交于點N，求∠N+∠M的值．

Answer 1

分析 （1）由于∠OCB=90°，則OG=OA=4，再根據三角形面積公式可計算出GH=5，FH=4，所以OH=1，OF=5，所以點F對應的數軸上的數是-5，點H對應的數軸上的數是-1；
（2）由∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點M得到∠FHM=$\frac{1}{2}$∠FHA，∠HGM=$\frac{1}{2}$∠HGA，根據三角形外角性質得∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，則2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，所以∠M=$\frac{1}{2}$∠HAG=$\frac{1}{2}$（∠HAO+∠OAG）=$\frac{1}{2}$α+22.5°；
（3）根據（2）中證明方法，可得到∠N=90°-$\frac{1}{2}$∠FAO=90°-$\frac{1}{2}$∠FAH-$\frac{1}{2}$∠OAH=90°-15°-$\frac{1}{2}$∠OAH=75°-$\frac{1}{2}$∠OAH，再根據∠M=$\frac{1}{2}$∠OAH+22.5°，即可得到∠M+∠N=97.5°．

解答 解：（1）如圖1，∵AC的中點過數軸的原點O，AC=8，
∴AO=4，
∵△AGH的面積是10，
∴$\frac{1}{2}$×4×GH=10，
解得GH=5，
又∵∠AOG=90°，∠OAG=45°，
∴OG=OA=4，
∴OH=1，
∴點H對應的數軸上的數是-1，
∵△AHF的面積是8，
∴$\frac{1}{2}$FH•4=8，
解得FH=4，
∴OF=OH+FH=5，
∴點F對應的數軸上的數是-5，
故答案為：-5，-1；

（2）如圖2，∵∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點M，
∴∠FHM=$\frac{1}{2}$∠FHA，∠HGM=$\frac{1}{2}$∠HGA，
∵∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，
∴2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，即2∠M=∠HAG，
∴∠M=$\frac{1}{2}$∠HAG=$\frac{1}{2}$（∠HAO+∠OAG）=$\frac{1}{2}$（α+45°）=$\frac{1}{2}$α+22.5°；

（3）如圖2，∵∠EFH的平分線和∠FOC的平分線交于點N，
∴∠NFO=$\frac{1}{2}$∠EFO，∠NOF=$\frac{1}{2}$∠COF，
∴△FON中，∠N=180°-（∠NFO+∠NOF）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠EFO+∠COF）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠AFO+180°-∠AOF）
=180°-$\frac{1}{2}$（360°-∠AFO-∠AOF）
=180°-$\frac{1}{2}$[360°-（180°-∠FAO）]
=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠FAO）
=90°-$\frac{1}{2}$∠FAO，
即∠N=90°-$\frac{1}{2}$∠FAH-$\frac{1}{2}$∠OAH
=90°-15°-$\frac{1}{2}$∠OAH
=75°-$\frac{1}{2}$∠OAH，
又∵∠M=$\frac{1}{2}$∠OAH+22.5°，
∴∠M+∠N=75°-$\frac{1}{2}$∠OAH+$\frac{1}{2}$∠OAH+22.5°=97.5°．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質、三角形內角和定理、三角形的外角性質、角平分線的定義以及三角形面積的計算等知識的綜合應用，熟練掌握等腰直角三角形的性質和三角形內角和定理是解決問題的關鍵．